Bernoulli Diferansiyel Denklemi

Kısaca: Bernoulli diferansiyel denklemi denir. Bu ad, Jakob Bernoulliye ithaf olsun diye 1695 konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir. ...devamı ☟

Bernoulli diferansiyel denklemi denir. Bu ad, Jakob Bernoulliye ithaf olsun diye 1695 konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir. Çözüm Yukarıdaki adi diferansiyel denklemde eşitliğin her iki tarafı

y^n

ile bölünürse denklem aşağıdaki gibi olur: :

\frac} + \frac} = Q(x)

, (Denklem II) Burada aşağıdaki gibi bir değişken değiştirme yapılırsa; :

w=\frac}

, (Denklem III) türevi; :

w'=\frac}y'

, (Denklem IV) (Denklem III) ve (Denklem IV), (Denklem II)'de yerine konulursa; :

\frac + P(x)w = Q(x)

, (Denklem V) Bu adımda aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılarak denklem çözülebilir. :

W(x)= e^

. (Denklem VI) Örnek Aşağıdaki Bernoulli denklemi örneğimiz olsun. :

y' - \frac = -x^2y^2

, (Eşitlik I)

y=0

, bir çözümdür. Eşitlik

y^2

ile bölünürse :

y'y^ - \fracy^ = -x^2

, (Eşitlik II) (Eşitlik II)'de aşağıdaki gibi bir değişken değişimi uygulanırsa; :

w = \frac

, (Eşitlik III) türevi; :

w' = \frac

. (Eşitlik IV) (Eşitlik III) ve (Eşitlik IV), (Eşitlik II)'de yerine konulursa; :

w' + \fracw = x^2

, (Eşitlik V) Aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılırsa denklem çözülebilir; :

M(x)= e^dx} = e^ = x^2.

(Eşitlik VI) Her iki tarafı

M(x)

ile çarpalım, :

w'x^2 + 2xw = x^4,\,

(Eşitlik VII) Sol taraf

wx^2

'nin türevidir. Bu denklemde her iki tarafın integrali alınırsa; :

\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx

(Eşitlik VIII) :

wx^2 = \fracx^5 + C

(Eşitlik IX) :

\fracx^2 = \fracx^5 + C

(Eşitlik X)

y

'nin çözümü; :

y = \frac

(Eşitlik XI) Yukarıda da belirtildiği gibi

y=0

da bir çözümdür. MATLAB kullanarak bunun doğruluğunu görebiliriz; x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x') Yukarıdaki söz dizimi her iki çözümü verir; 0 x^2/(x^5/5 + C1) Ayrıca,

y=0

hesaba katılmadan yapılan, çözümü Wolfram Alpha'da görebilirsiniz.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.

Diferansiyel denklem

7 yıl önce

Bernouilli 1695 yılında Bernoulli diferansiyel denklemi'ni ortaya attı ve bu denklem şu formda bir Adi diferansiyel denklemdir: y ′ + P ( x ) y = Q ( x...

Türevsel denklem, Değişken, Matematik, Taslak

Adi diferansiyel denklem

3 yıl önce

edilmelidir. Kısmi diferansiyel denklemler birçok farklı içeriği olan geometrik, mekanik, astronomik gibi alanları içerir. Newton, Leibniz, Bernoulli, Riccati,...

Jakob Bernoulli

3 yıl önce

anlamı ile kullanılmıştır. 1696’da, günümüzde Bernoulli Diferansiyel Denklemi denilen aşağıdaki denklemi çözmüştür. y ′ = p ( x ) y + q ( x ) y n . {\displaystyle...

Jakob Bernoulli, 1655, 16 Ağustos, 1705, 6 Ocak, Basel, Johann Bernoulli, Koordinat, Latince, İsviçre, Logaritmik sarmal

Özel fonksiyonlar

7 yıl önce

karşılaşılan diferansiyel denklemlerin çözümleriyle ilişkilidir. Aşağıda birkaç özel fonksiyon listelenmiştir: Anger fonksiyonu Bernoulli polinomları Bessel...

E Sayısı

3 yıl önce

Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır. 1. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır: d d x e x = e x . {\displaystyle...

E sayısı, E sayısı

Akışkanlar dinamiği

3 yıl önce

dV+\mathbf {F} _{\text{surf}}} Aşağıdaki gibi momentumun korunumu denklemi diferansiyel şeklidir. Tek toplam kuvvet, F. Örneğin, F bir iç akış üzerinde...

Akışkanlar dinamiği, Aerodinamik, Akışkan, Akışkanlar mekaniği, Fizik, Hidrolik, Taslak, Hidrodinamik

Bessel fonksiyonu

3 yıl önce

Bessel fonksiyonları ilk önce Daniel Bernoulli tarafından tanımlanmış ve Friedrich Bessel tarafından genelleştirilmiş x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (...

Leonhard Euler

3 yıl önce

Yunanca eğitimi aldı. Bu eğitimin sonunda Bernoulli müdahale etmeseydi Euler bir papaz olacaktı. Ama Bernoulli, oğlunun büyük bir matematikçi olabilecek...

Leonhard Euler, 15 Nisan, 1707, 1726, 1727, 1730, 1733, 1734, 1735, 1740, 1741

Bernoulli Diferansiyel Denklemi