Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Dalga Denklemi

Kısaca: Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. ...devamı ☟

Dalga denklemi
Dalga Denklemi

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri

style="background-color: #aabbcc;"
Gösterim Açıklama
\left(\nabla^2-\fracD_t^2\right)u=0 D_t=\frac operatörü
c^2\nabla^2u-u_=0 u_\,: u`nun zamana göre 2. türevi
\square u=0 \square: d`Alembert İşlemcisi


Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır. Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı v_f=\frac kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

\left(cu^2\nabla^2-D_t^2\right)u=0

şeklinde biçimlenir.

Tek boyutta çözümü

Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür. \nabla^2\to\frac

d`Alembert çözümü

\eta\equiv x-ct\, ve \xi \equiv x+ct\,

tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:

\frac=\frac\frac+\frac\frac yazılabilir.

\frac=\frac=1 olduğundan,

\frac=\frac+2\frac+\frac ifadesi ve aynı yol izlenerek

\frac\frac=\frac-2\frac+\frac ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan yazılırsa:

\frac-\frac\frac=4\frac=0 Dolayısıyla denklem,

\frac=0 durumuna indirgenmiş olur. Kısmi diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integrasyon yapılarak

u(\eta,\xi)=f(\eta)+g(\xi)=f(x-ct)+g(x+ct)\, olarak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı temsil eder.

Fourier dönüşümü ile



Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü u(x,t) \mapsto U(k,t) yapılırsa

\fracu(x,t)=\frac\fracu(x,t)

F.D \frac \mapsto (ik)^n denkliği kullanılarak

(ik)^2U(k,t)=\frac\fracU(k,t) diferansiyel denklemi elde edilir. Burada, t \mapsto w dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü

U(k,t)=A(k)e^ + B(k)e^\, olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür. U=U(k,t)\, Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır.

u(x,t)=\frac}\int_^U(k,t)e^dk=\frac}\int_^\left + B(k)e^\righte^dk çözülüerek

u(x,t)=\frac}\int_^A(k)e^dk+\frac}\int_^B(k)e^dk Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm

u(x,t)=f(x-ct) + g(x+ct)\, olarak elde edilir.

Değişkenlere ayırma yöntemi ile



Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir. u(x,t)=\Chi(x)\Tau(t)\, olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:

\Tau\frac=\Chi\frac\frac iki taraf da u ya bölünürse

\frac\frac=\frac\frac iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, -k^2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından:

\frac +k^2\Chi=0 \Longrightarrow \Chi=A\sin(kx)+B\cos(kx) ve sağ tarafından da

\frac + (kc)^2\Tau =0 \Longrightarrow \Tau=C\sin(kct) + D\cos(kct) bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K_1e^ ve K_2e^ olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

akışkanlar mekaniği d`alembert i̇şlemcisi elektromanyetik fourier dönüşümü laplasyen zincir kuralı değişkenlere ayırma yöntemi fiziksel akustik kısmi diferansiyel denklem

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Dalga denklemi Resimleri

Schrödinger Denklemi
3 yıl önce

ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck'ın...

Schrödinger denklemi, Belirsizlik ilkesi, Dalga Fonksiyonu, Erwin Schrödinger, Heisenberg, Max Planck, Tünel Etkisi, Dalga mekaniği, Kuantum mekanik kuramı, Kuantum varsayımları, De Broglie
Elektromanyetik dalga denklemi
3 yıl önce

Elektromanyetik dalga denklemi, elektromanyetik dalgaların bir ortam boyunca ya da bir vakum ortamı içerisinde yayılmasını açıklayan, ikinci dereceden...
Akustik dalga denklemi
3 yıl önce

akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik...
Helmholtz denklemi
3 yıl önce

Hermann von Helmholtz'un ardından adlandirilan Helmholtz denklemi veya indirgenmiş dalga denklemi ∇ 2 u ( x ) + k 2 ( x ) u ( x ) = 0 , x ∈ R n {\displaystyle...
Düzlem dalga
3 yıl önce

uzaktan gelen dalgalar (örnek olarak güneş ışınları) bir düzlem dalga olarak modellenebilmektedir. Lineer ortamlarda elektromanyetik dalga denklemi gibi denklemlerin...
Dalga Fonksiyonu
3 yıl önce

kanıtladılar. 1928'de De Broglie de aynı denklemle karşılaştı. Bu göreli dalga denklemi günümüzde Klein-Gordon denklemi olarak biliniyor. Şimdilik daha basit...

Dalga fonksiyonu, Paul Dirac, Schrödinger Denklemi, Werner Heisenberg, Matris mekaniği
Dalga-parçacık İkiliği
3 yıl önce

elektrik dalgaları ve manyetik alanlarla ilgili dört basit denklemi birleştirdiğinde vurulmuş oldu. Titreşen bu elektro manyetik dalgaların yayılma hızı...

Dalga-parçacık İkiliği, Dalga, Elektromanyetizm, Elektron, Fizik, Işık, Madde, Taslak, Electromanyetik kuramı, Mikroevren, J. C. Maxwell
Dalga vektörü
3 yıl önce

“kristal bilimii tanımı” denir. Mükemmel bir tek-boyutlu hareketli dalga denklemi aşağıdaki gibidir: ψ ( x , t ) = A cos ⁡ ( k x − ω t + φ ) {\displaystyle...