Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Dini Testi

Kısaca: Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. ...devamı ☟

Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler, Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir. } Tanım f, [1] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. t 'deki yerel süreklilik modülüsü :\left.\right.\omega_f(\delta;t)=\max_ |f(t)-f(t+\varepsilon)| ile tanımlanır. f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2Ï€ + ε). Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise :\left.\right.\omega_f(\delta) = \max_t \omega_f(\delta;t) ile tanımlanır. Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz. Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında :\int_0^\pi \frac\omega_f(\delta;t)\,d\delta < \infty eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar. Örneğin, teorem \omega_f=\log^(\delta^) iken tutar ama \log^(\delta^) iken tutmaz. Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu :\omega_f(\delta)=o\left(\log\frac\right)^ ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar. Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar. Kesinlik Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani :\omega_f(\delta)=O\left(\log\frac\right)^ olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder: :\int_0^\pi \frac\Omega(\delta)\,d\delta = \infty olan herhangi bir Îé fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki :\left.\right.\omega_f(\delta;0) < \Omega(\delta) ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar. Ayrıca bakınız * Fourier serilerinin yakınsaklığı. Kaynakça } Fourier serisi Yakınsaklık testleri Dinijev test

Kaynaklar

Vikipedi