Türkçe Bilgi: Dirichlet eta işlevi

Dirichlet eta işlevi :

\eta(s) = \left(1-2^\right) \zeta(s)

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir. :

\eta(s) = \sum_^ \over n^s}

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir. Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı :

\eta(s) = \frac\int_0^\infty \frac}

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir. Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır: :

\eta(-s) = 2\pi^ s \sin\left(\right) \Gamma(s)\eta(s+1)

Sayısal Algoritmalar Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir. :

\eta(s)=\sum_^\infty \frac}  \sum_^n (-1)^  \frac

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir. :

d_k = n\sum_^k \frac

koşulu sağlanıyorsa :

\eta(s) = -\frac \sum_^\frac+\gamma_n(s)

eşitliğine ulaşılır. Burada

\Re(s) \ge \frac

için geçerli γ_n hata payı :

|\gamma_n(s)| \le \frac)^n} (1+2|\Im(s)|)\exp(\frac|\Im(s)|)

olarak hesaplanır. Hata payındaki

3+\sqrt\approx 5.8

ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir. Özel değerler * η(0) = ¹⁄₂, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı * η(−1) = ¹⁄₄, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı * k 1'den büyük bir tamsayı olmak üzere B_k k. Bernoulli sayısı ise *:

\eta(1-k) = \frac B_k

Ayrıca, :

\!\ \eta(1) = \ln2

(almaşık harmonik dizi) :

\eta(2) =

\eta(4) = \over 6842880}

\eta(12) = \over }

Pozitif çift tamsayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

\eta(2n) = (-1)^

* * Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34 * Xavier Gourdon & Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003) * Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/ *

Kaynaklar

Vikipedi

Dirichlet Eta Işlevi

Dirichlet Eta Işlevi Hakkında Detaylı Bilgi

Borwein yöntemi

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar