Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Gauss-Legendre Algoritması

Kısaca: Gauss-Legendre Algoritması π sayısının basamaklarını hesaplamak için kullanılan bir algoritmadır. Sadece 25 iterasyonda π sayısının 45 milyon basamağını doğru olarak hesaplıyor. ...devamı ☟

Gauss-Legendre Algoritması π sayısının basamaklarını hesaplamak için kullanılan bir algoritmadır. Sadece 25 iterasyonda π sayısının 45 milyon basamağını doğru olarak hesaplıyor. Bu yöntem Carl Friedrich Gauss(1777-1855) ve Adrien-Marie Legendre(1752-1833) ikilisinin bireysel çalışmalarıyla modern çarpma ve karekök bulma algoritmalarının bir birleşimine dayanmaktadır. Aşağıda gösterilen çeşidiyse Brent-Salamin(ya da Salamin-Brent) algoritması olarak da bilinir; 1975 yılında Richard Brent ve Eugene Salamin tarafından keşfedilmiştir. Bu algoritma 18-20 Eylül, 1999'da π sayısının ilk 206,158,430,000 ondalık basamaklarını hesaplamakta kullanıldı ve sonuçlar Borwein Algoritması'yla kontrol edildi.

Algoritma

1. Başlangıç değeri ayarlama: :a_0 = 1\qquad b_0 = \frac}\qquad t_0 = \frac\qquad p_0 = 1\! 2. Aşağıdaki talimatları a_n\! ve b_n\!'nin farkı istenen doğruluk seviyesine gelene kadar uygulamaya devam edin. : \begin a_ & = \frac, \\ b_ & = \sqrt, \\ t_ & = t_n - p_n(a_n - a_)^2, \\ p_ & = 2p_n. \end 3.π yaklaşık olarak şu çıkar: :\pi \approx \frac.\! İlk 3 iterasyonun sonucu: :3.140\dots\! :3.14159264\dots\! :3.1415926535897932382\dots\!

Matematiksel arkaplan

Aritmetik-geometrik ortalamanın sınırları

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, a0 ve b0, aşağıdaki dizilerin limitleri alınarak bulunur :\begin a_ & = \frac, \\ b_ & = \sqrt, \end Bu iki denklem de aynı limit değerine yakınsar. Eğer a_0=1\! ve b_0=\cos\varphi\! ise limit \! değerine yakınsar; öyleki K(k)\! birinci tür tam olmayan eliptik integraldir. :K(k) = \int_0^ \frac}.\! Eğer c_0 = \sin\varphi\!, c_ = a_i - a_\! ise :\sum_^\infty 2^ c_i^2 = 1 - \! öyleki E(k)\! ikinci tür tam olmayan integraldir. :E(k) = \int_0^\sqrt \, d\theta.\! Gauss tüm bu sonuçları biliyordu.

Legendre’ın özdeşliği

Öyle bir \varphi\! ve \theta\! sayıları vardır ki \varphi+\theta=\pi\! eşitliğini sağlar. Legendre bu ödeşliği kanıtlamıştır: :K(\sin \varphi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \varphi) - K(\sin \varphi) K(\sin \theta) = \pi\!

Kaynaklar

Vikipedi