Futbola Aydınspor`da başladı. 1955 yılında Altay`a transfer oldu ve 1957`ye kadar bu takımda santrafor olarak oynadı.
1957/1958 sezonunda Beşiktaş`a transfer oldu. Siyah-Beyazlı ekipteki ilk yılında Federasyon Kupası Şampiyonluğu yaşayan Köstepen, 1970 yılına kadar Beşiktaş forması giydi. Siyah-Beyazlı ekibin orta sahasının değişmez ismi olan ve çok kritik gollere de imza atan Kaya Köstepen, Beşiktaş`ta 4 Lig Şampiyonluğu yaşadı. 3 kez A Milli formayı giydi. 332 Birinci Lig maçında 7 gol kaydetti. Kaya Köstepen, futbolu bıraktıktan sonra teknik adamlık yaptı.
27 Kasım 1958`de Real Madrid`le oynanan Şampiyon Kulüpler Kupası maçında Kaya Köstepen gol atarak maçın 1-1 bitmesini sağlamış ve Beşiktaş`ın ilk Avrupa Kupalarındaki golünü atmıştı.
Şükran Köstepen ile evli olan Kaya Köstepen`in Hakan ve Kaan adında iki oğlu ve Ali Ilett Kostepen, Selin Kate Kostepen, ve Armaan Kostepen adinda uc torunu vardir.
}