Türkçe Bilgi: Polinom bölme

polinom bölme, bir polinomu, eşit ya da daha düşük dereceli bir polinoma bölme algoritmasıdır. Uzun bölme olarak adlandırılan aritmetik yöntemin genellemesi olan algoritma, karmaşık bir bölme işlemini basite indirgediğinden elle yapılabilmektedir. f(x) ve g(x) bir polinom (g(x) sıfırdan farklı olmak koşuluyla) olmak üzere :

\frac=q(x) + \frac

eşitliğini sağlayan q(x) ve r(x) polinomları bulunur. Burada r(x)'in derecesi g(x)'inkinden küçüktür.

Sentetik bölme

işlemine f(x) pay, g(x) sıfırdan farklı bir payda olarak uygulandığında bölüm q(x) ve kalan r(x) olarak bulunacaktır. Bu yöntemde bölünen düzenli (cebirsel olmayan) bir ifade biçiminde yazılır. :

g(x)\overline

En büyük derece dışındaki tüm terimlerin, katsayıları sıfır olsa bile yazılması gerekir.

Örnek

\frac

işlemi yapılırken ifade önce aşağıdaki biçimde yazılır. :

x-3\overline

Bölüm ve kalan şu biçimde hesaplanabilir: :1. Payın ilk terimi paydanın en yüksek dereceli terimine bölünür ve sonuç, (x³ ÷ x = x³ · x^-1 = x³^-1 = x²) çizgisinin üstüne yazılır. :

\begin x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline \end

:2. Elde edilen sonuç paydayla çarpılır ve bu ifade (x²·(x-3) = x³-3x²) terimlerinin altına yazılır. :

\begin x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline\\ \qquad\;\; x^3 - 3x^2 \end

:3. Çıkarma işlemi yapılır ve sonuç aşağıya yazılır. ((x³-12x²)-(x³-3x²) = -12x²+3x² = -9x²) Payın bir sonraki terimi aşağıya alınır. :

\begin x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline\\ \qquad\;\; \underline\\ \qquad\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x \end

:4. Önceki adımlar yinelenir. :

\begin \; x^2 - 9x\\ \qquad\quad x-3\overline\\ \;\; \underline\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42 \end

:5. 4. adım yinelenir. :

\begin \qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\ \qquad\quad x-3\overline\\ \;\; \underline\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end

Çizginin üstünde kalan polinom bölümü verirken en alttaki ifade (-123) kalandır. :

\frac = x^2 - 9x - 27 - \frac

İlköğretim öğrencilerine verilen uzun bölme algoritması bu yöntemin özel bir durumu olarak görülebilir. Sentetik bölme

Sentetik bölme

, iki polinomu, yukarıda açıklanan uzun bölme işlemindeki kayıtları tutmadan bölmek için kullanılan bir yöntemdir. Ne var ki, bu yöntem yalnızca tek değişkenli polinomları bölmek için kullanılmaktadır. b bir rasyonel sayı olmak üzere, (x + b) ifadesinde b'den önce gelen im çizginin soluna yazılır. Böylece, olağan bölme işlemindeki çıkarma işlemleri yerine yalnızca toplama işlemi yapılır. Bu, elle yapılan bölme işlemlerindeki hata payını azaltmaktadır. Ruffini kuralıyla bölme olarak da adlandırılan sentetik bölme Paolo Ruffini tarafından 1809 yılında bulunmuştur. YUkarıdaki örnek bu yöntemle çözülecek olursa :

x-3\overline

yazımıyla başlayan çözüm yalnızca katsayılara odaklanır. :

\begin 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \end

Çizgiden sonra gelen ilk katsayı üçüncü satıra alınır. :

\begin 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & & & \\ & | & 1 & & & \\ \end

Aşağıya alınan sayı çizginin önündeki sayıyla çarpılır ve sonuç hemen yandaki sütuna yazılır. :

\begin 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & 3 & & \\ & | & 1 & & & \\ \end

Bu sütunda gerekli toplama işlemi gerçekleştirilir. :

\begin 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & 3 & & \\ & | & 1 & -9 & & \\ \end

Önceki iki adım yinelendiğinde şu sonuca ulaşılmaktadır: :

\begin 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & 3 & -27 & -81 \\ & | & 1 & -9 & -27 & -123 \\ \end

Son satırdaki sayılar en sağdaki dışında bölümün katsayılarını vermektedir. Kalan ise en sağdaki sayıdır. Kalanın hemen solunda yer alan sayıdan başlayarak sola doğru dereceler artar ve bölme sonucu :

\frac = x^2 - 9x - 27 - \frac

olarak hesaplanır. Yüksek dereceli sentetik bölme Yukarıda açıklanan sentetik bölme işlemi yalnızca birinci dereceden paydalara uygulanabilmektedir. Yine de, ikinci dereceden ya da daha yüksek dereceli tek değişkenli polinomlar için kullanılan bir kısayol da bulunmaktadır. :

\frac

işlemi :

\begin -1 & 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \end

yazımıyla başlar. Sağdaki ilk katsayının altı çizilir, bu sayı soldaki katsayılarla çarpılır ve elde edilen sonuçlar sağdaki sütunlara geçirilir. :

\begin -1 & 3 & | & \underline & -12& 0 & -42 \\ & & | & & -1& 3 & \\ \end

Toplama işlemi yapılır. :

\begin -1 & 3 & | & \underline & -12& 0 & -42 \\ & & | & & -1& 3 & \\ & & | & & -13& 3 & -42 \\ \end

Önceki iki adım yinelenir. :

\begin -1 & 3 & | & \underline & -12& 0 & -42 \\ & & | & & -1& 3 & \\ & & | & & \underline& 3 & -42 \\ & & | & & & 13 & -39 \\ & & | & & & 16 & -81 \\ \end

Altı çizili sayılar bölümün katsayılarını gösterirken en alt satırda kalan sayılar kalanın katsayılarını ifade etmektedir. Terimler sağdan sola artan derecelerle yazılır ve bölme sonucu :

\frac = x - 13 + \frac

olarak hesaplanır. Ayrıca bakınız * Polinom kalanı kuramı * Öklit bölgesi * Gröbner tabanı * İki polinomun en büyük ortak böleni *

Kaynaklar

Vikipedi

Polinom Bölme

Sentetik bölme

Örnek

Sentetik bölme

Kaynaklar

Polinom

Döngüsel artıklık denetimi

Kök bulma algoritması

Fark makinesi

Cebirsel ifade

Reel sayılar

Charles Babbage

Sayısal Analiz

Polinom Bölme

Polinom Bölme Hakkında Detaylı Bilgi

Sentetik bölme

Örnek

Sentetik bölme

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Polinom

Döngüsel artıklık denetimi

Kök bulma algoritması

Fark makinesi

Cebirsel ifade

Reel sayılar

Charles Babbage

Sayısal Analiz