Türkçe Bilgi: Runge teoremi

ye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir.]] Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi' 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur. Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir: $K$ karmaşık sayılar kümesi $\mathbb$ nin tıkız bir altkümesiyse, $A$ kümesinin içinde $\mathbb\backslash K$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu $K$ üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları $A$ içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir $(r_n)$ dizisi vardır öyle ki bu $(r_n)$ dizisi f 'ye $K$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar. $A$ kümesinin herhangi bir noktası, bu $(r_n)$ dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: $(r_n)$ dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar $A$ nın içindedir. Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki $A$ kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, $\mathbb\backslash K$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder. $\mathbb\backslash K$ nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki $A$ kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer $K$ , $\mathbb$ nin tıkız bir altkümesiyse, $\mathbb\backslash K$ bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu $K$ üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye $K$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi $(p_n)$ vardır. Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise $A$ kümesi Riemann küresinin, yani $\mathbb$ ∪ un, altkümesiyse ve ayrıca $A$ nın (şimdi ∞'u da kapsayan) $K$ kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup $K$ nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir. Ayrıca bakınız * Mergelyan teoremi * John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer; 2nci baskı (1997), ISBN 0-387-97245-5.--Fonksiyonel Analizde Bir Ders. * Robert E. Greene and Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, American Mathematical Society; 2nci baskı (2002), ISBN 0-8218-2905-X.--Bir Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Teorisi.
Kaynaklar
Vikipedi

Runge Teoremi

Runge Teoremi Hakkında Detaylı Bilgi

Kaynaklar