Schrödinger Dalga Denklemi

Schrödinger denklemi, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck'ın ortaya attığı "kuantum varsayımları"nın ardından, 1924'te ortaya atılan de Broglie varsayımı ve 1927'de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekaniğini ortaya çıkarmıştır.

Schrödinger denklemi kapalı formda şöyle ifade edilebilir: ${\displaystyle H\psi =E\psi \,}$ Burada H, Hamiltonyen' i temsil eder. Hamiltonyen, parçacığın toplam enerjisini veren bir operatördür ve ${\displaystyle H={p^{2} \over 2m}+V}$ şeklinde ifade edilir. İlk terim kinetik enerjiyi, ikinci terim ise potansiyel enerjiyi temsil eder. Momentum operatörü ${\displaystyle {\vec {p}}=-\imath \hbar {\vec {\nabla }}}$ denklemde yerine konursa Schrödinger denkleminin sol tarafı elde edilir.

${\displaystyle \left(-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}+V\right)\psi =\imath \hbar {\partial \psi \over \partial t}}$

Bu zamana bağlı Schrödinger denklemidir. Denklemin sağ tarafının sıfıra eşit olması durumunda zamandan bağımsız Schrödinger denklemi karşımıza çıkar. Burada ${\displaystyle \hbar =1,01\cdot 10^{-34}Js}$ değerinde Dirac sabiti, m; parçacığın kütlesi, V; potansiyel enerji, ${\displaystyle \psi \,}$; parçacığa eşlik eden dalga fonksiyonudur. Parçacığın kinetik enerjisinin hareket etmezken sahip olduğu iç enerjisinden oldukça büyük olması durumunda enerjisi göreli olarak ifade edileceğinden ${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}$ şeklinde olur. Bu sayede elde edilen Schrödinger denklemine, Relativistik (göreli) Schrödinger Denklemi denir ve ${\displaystyle {D_{t}}={\partial \over \partial t}}$ olmak üzere şu formda yazılır.

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{1 \over c^{2}}{D_{t}}^{2}\right)\psi =\left({mc \over \hbar }\right)^{2}\psi }$

Denklemin çözümü için, parçacığın bulunduğu duruma göre içinde olduğu potansiyeller şöyle özetlenebilir:

• ${\displaystyle V={\mbox{sabit}}\,}$

V'nin sıfır olması durumunda serbest parçacık durumu incelenir. Sıfırdan farklı durumlarda parçacığın enerjisinin uygulanan potansiyelden büyük veya küçük olması koşullarına göre değişen çözümler bulunur. Parçacığın enerjinisinin uygulanan potansiyelden küçük olması ancak belirli bir genişlikten sonra bu potansiyel engelin kaldırılması durumunda Tünel Etkisi gözlemlenir. Akım yoğunluğu hesaplanarak geçme ve yansıma katsayıları bulunur.

• ${\displaystyle V=V(r)\,}$

Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb potansiyelleridir. Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların hareketini kapsar.