Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Zeta Dağılımı

Kısaca: Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. ...devamı ☟

Zeta dağılımı
Zeta Dağılımı

Olasılık dağılımı| 
isim   =zeta|
tip    = kütle|
pdf_image =
log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k`nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak icin verilmistir; süreklilik ifade etmezler.)|
cdf_image =
|
parametreler =s\in(1,\infty)|
destek  =k \in \|
OYF    =\frac|
YDF    =\frac|
ortalama   =\frac~\textrm~s>2|
medyan  =|
mod    =1\,|
varyans  =\frac~\textrm~s>3|
çarpıklık =|
basıklık  =|
entropi  =\sum_^\infty\frac\log (k^s \zeta(s)).\,\!|
mf     =\frac_s(e^t)}|
kf     =\frac_s(e^)}|


Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, ``zeta dağılımı`` bir aralıklı olasılık dağılımıdır. Eğer ``X`` ``s`` parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, ``X``in ``k`` tamsayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

f_s(k)=k^/\zeta(s)\,


Burada ζ(``s``) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon ``s`` = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde ``N`` için zeta dağılımı Zipf dağılımı eşit değerdedir. O zaman ``Zipf dağılımı`` ve ``zeta dağılım`` aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Momentler

Genel olarak, ``n``inci ham moment ``X````n``in beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

m_n = E(X^n) = \frac\sum_^\infty \frac{k^{s-n


Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece ``s-n`` değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

m_n =\left\{
\begin \zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm~n < s-1 \\infty & \textrm~n \ge s-1 \end \right.

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, ``n``&nbsp;&ge;&nbsp;``s``&nbsp;&minus;&nbsp;1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir ``n`` değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez`

Moment üreten fonksiyon



Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M(t;s) = E(e^) = \frac \sum_^\infty \frac.


Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma`nin tanımlanmasıdır ve e^t<1 için geçerlidir ve bu halde

M(t;s) = \frac_s(e^t)}\textt<0.


Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

\sum_^\infty \frac,


Bu ifade, büyük ``n`` değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir ``s``nin sonsuz olmayan değeri icin kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

\scriptstyle |t|\,<\,2\pi


için şu ifadeyi elde ederiz:

\frac\sum_^\infty \frac\,t^n=\frac_s(e^t)-\Phi(s,t)}


\scriptstyle\Phi(s,t) değeri şöyle verilir

\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^\texts\ne 1,2,3\ldots
\Phi(s,t)=\frac\left[1]\texts=2,3,4\ldots
\Phi(s,t)=-\ln(-t)\texts=1,\,


burada ``H````s`` bir harmonik sayı olur.

``s``=1 hali

harmonik seri olduğu için &zeta;(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle ``s``=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer ``A`` yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tamsayılar seti ise yani

\lim_\frac


var olmakta ise ve burada ``N``(``A``,&nbsp;``n``) ``A`` seti içinde bulunan ve ``n`` değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

\lim_P(X\in A)\,


bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde ``A`` için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer ``A`` birinci tamsayısı ;``d`` olan bütün pozitif tamsayıların bir seti ise, ``A`` için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama gecerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

\log(d+1) - \log(d),\,


Buna benzer yöntem aynen Benford`un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

İçsel kaynaklar

Diğer ``güç-savı`` dağılımları şunlardır:

Kaynak

  • Kaynak wiki
|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeta_distribution|tarih=Mart 2008 |dil=İngilizce|madde=Zeta_distribution

Dışsal bağlantılar

`` Some remarks on the Riemann zeta distribution`` by Allan Gut. Gut`un “Reieman zeta dağılımı” olarak andıgı ``X`` bir rassal değisken olarak &minus;log&nbsp;``X``, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır.

Olasılık Dağılımları|Zeta dağılımı

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

olasılık dağılımları aralıklı olasılık dağılımı basıklık beklenen değer benford`un savı bernoulli dağılımı beta dağılımı binom dağılımı bozulmuş dağılım dirac delta fonksiyonu

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.