Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Zeta Sabiti

Kısaca: zeta sabiti bir tamsayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tamsayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir. ...devamı ☟

zeta sabiti bir tamsayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tamsayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir. 0 ve 1'de Riemann zeta fonksiyonu Sıfırda :\zeta(0)=B_1=-\frac. eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur. :\zeta(1)=\infty.\, == Pozitif tamsayılar Pozitif çift tamsayılar

Pozitif çift tamsayılar

kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir: : \zeta(2n) = (-1)^\frac(2\pi)^} n\ge 1 koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir. :\zeta(2) = 1 + \frac + \frac + \cdots = \frac = 1.6449\dots; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir. :\zeta(4) = 1 + \frac + \frac + \cdots = \frac = 1.0823\dots; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması. :\zeta(6) = 1 + \frac + \frac + \cdots = \frac = 1.0173...\dots :\zeta(8) = 1 + \frac + \frac + \cdots = \frac = 1.00407... \dots :\zeta(10) = 1 + \frac} + \frac} + \cdots = \frac} = 1.000994...\dots :\zeta(12) = 1 + \frac} + \frac} + \cdots = \frac} = 1.000246\dots :\zeta(14) = 1 + \frac} + \frac} + \cdots = \frac} = 1.0000612\dots

Pozitif çift tamsayılar

daki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir: :0=A_n \zeta(n) - B_n \pi^\, Burada A_n ve B_n tüm çift n değerlerine karşılık gelen tamsayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir. \eta_n'nin yukarıda gösterildiği gibi B/A katsayısı olması durumunda : \zeta(2n) = \sum_^\frac}=\eta_n\pi^, eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle : \eta_1 = \frac; : \eta_n=\sum_^(-1)^\frac}+(-1)^\frac. ifadesine ulaşılır. Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir. Çift sayılarda geçerli olan dizi 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir. :\frac\cot(\pi x) = \fracx^-\fracx -\frac x^3 - \fracx^5 + ...

Pozitif tek tamsayılar

İlk birkaç tek doğal sayı için :\zeta(1) = 1 + \frac + \frac + \cdots = \infty; Harmonik seri. :\zeta(3) = 1 + \frac + \frac + \cdots = 1.20205\dots ; Apéry sabiti :\zeta(5) = 1 + \frac + \frac + \cdots = 1.03692\dots :\zeta(7) = 1 + \frac + \frac + \cdots = 1.00834\dots :\zeta(9) = 1 + \frac + \frac + \cdots = 1.002008\dots eşitlikleri sağlanır. ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (n ∈ N) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin;

ζ(5)

,

ζ(7)

, ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir. Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kaydadeğer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.

ζ(5)

Plouffe :\zeta(5)=\frac\pi^5 -\frac \sum_^\infty \frac -1)} -\frac \sum_^\infty \frac +1)} ve :\zeta(5)= 12 \sum_^\infty \frac -\frac \sum_^\infty \frac -1)} -\frac \sum_^\infty \frac +1)} özdeşliklerini bulmuştur.

ζ(7)

:\zeta(7)=\frac\pi^7 -2 \sum_^\infty \frac -1)} Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.

ζ(2n+1)

:S_\pm(s) = \sum_^\infty \frac \pm 1)} şeklinde tanımlanan büyüklükler :0=A_n \zeta(n) - B_n \pi^ + C_n S_-(n) + D_n S_+(n)\, biçiminde ilişki dizileri verir. Burada A_n, B_n, C_n ve D_n pozitif tamsayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur. Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir. == Negatif tamsayılar == Negatif tamsayılar için :\zeta(-n)=-\frac} eşitliği sağlanır. n\ge 1 için "açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tamsayılarda rastlanır. :\zeta(-2n)=0.\, Negatif tek tamsayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir. :\zeta(-1)=-\frac :\zeta(-3)=\frac :\zeta(-5)=-\frac :\zeta(-7)=\frac. Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tamsayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir. == Türevleri == Zeta fonksiyonunun negatif çift tamsayılardaki türevi aşağıdaki gibidir. :\zeta^(-2n) = (-1)^n \frac } \zeta (2n+1). Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir: :\zeta^(-2) = -\frac :\zeta^(-4) = \frac \zeta(5) :\zeta^(-6) = -\frac \zeta(7) :\zeta^(-8) = \frac \zeta(9). Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır. :\zeta^(0) = -\frac\log(2\pi)\approx -0.918938533\ldots :\zeta^(-1)=\frac-\log A \approx -0.165421137\ldots Burada A Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir. == Zeta Sabitleri Toplamı == :\sum_^\infty (\zeta(k) -1) = 1 * Simon Plouffe, " Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler", (1998). * Simon Plouffe, " Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler (2. Bölüm) PDF" (2006). * Linas Vepstas, " Plouffe'nin Ramanujan Özdeşlikleri Üzerine", ArXiv Math.NT/0609775 (2006). * Wadim Zudilin, "

ζ(5)

,

ζ(7)

, ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasyonel." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF PS PDF PS

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Apéry sabiti
7 yıl önce

Apéry sabiti, 5 Şubat 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 3 Kasım 2008 . Wedeniwski, S. (2001), 1,000,000. basamağına dek Zeta(3), Project...
Riemann zeta işlevi
3 yıl önce

{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.} γn sabitine Stieltjes sabiti deniliyor ve limit...
Euler-Mascheroni sabiti
3 yıl önce

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür : üstel integral ifadelerinde. doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde. Riemann zeta fonksiyonu'nun...
Catalan sabiti
7 yıl önce

yüksek performanslı bilgasayarlar ve güçlü algoritmalar geliştiriliyor. Zeta sabiti ^ Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation 15 Ocak...
Hurwitz zeta fonksiyonu
3 yıl önce

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1...
Liouville teoremi (karmaşık analiz)
3 yıl önce

a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta } olarak yazılır (Cr, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir...
çarpım fonksiyonu
3 yıl önce

{1}{\zeta (s)}}} ∑ n ≥ 1 φ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}...
Ters Gama fonksiyonu
7 yıl önce

a_{k}=ka_{1}a_{k}-a_{2}a_{k-1}+\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}} burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu'dur. integral gösterimi Hermann Hankel tarafından;...