1989'da Zülfü Livaneli ile birlikte Güneş Topla Benim İçin adlı müzik klibinde, 1994'de ise Ayhan Baran'la birlikte Türkiye'nin ilk opera klibinde rol aldı. Akkoyun, aynı yıllar televizyon dizilerinde de oynamaya başladı. 1992'de Son Söz Sevginin, 1993'de Çakalların İzinde, yine aynı yıl Suçlu Kim, 1995'de Mirasyediler, ve 1995?de Sessizlik adlı sinema filminde rol aldı. Akkoyun tiyatro, sinema ve dizi filmlerinin yanı sıra reklam filmlerinde de oynadı. Bunlardan bazıları: Pril, Luna, Akbank, İş Bankası ve Yeni Yüzyıl'dır.
1995 yılında 4x4 adlı yarışma programı ile sunuculuğa başlayan başarılı sanatçı, daha sonra 1998 Adana Film Festivali'ni ve 1999, 2000 Antalya Film Festivali Onur Ödülleri'ni sundu. 1994'de başladığı Mahallenin Muhtarları ve 1997'de başladığı Böyle mi Olacaktı adlı diziler ise televizyonlarda devam etmektedir.Halen yayınlanmakta olan Çocuktan Al Haberi adlı yarışmanın sunuculuğunu yapan Akkoyun, 1998 yılında tiyatro sanatçısı Civan Canova ile evlendi.