Türkçe Bilgi: Geometrik dağılım

Olasılık dağılımı|

isim    =Geometrik|

tip     =kütle|

pdf_image =|

cdf_image =|

parametreler = $0< p \leq 1$  başarı olasılığı (reel)|

destek  = $k \in \\!$ |

OYF    = $(1 - p)^\,p\!$ |

YDF    = $1-(1 - p)^k\!$ |

ortalama    = $\frac\!$ |

medyan   = $\left\lceil \frac \right\rceil\!$  (eğer  $-\log(2)/\log(1-p)$  bir tamsayı ise tek değildir)|

mod    =1|

varyans  = $\frac\!$ |

çarpıklık  = $\frac{\sqrt{1-p\!$ |

Basıklık  = $6+\frac\!$ |

entropi  = $-\frac\ln(1-p)-\ln p\!$ |

mf    = $\frac\!$ |

kf    = $\frac{pe^{it{1-(1-p)\,e^{it\!$ |

parametreler2 = $0< p \leq 1$  başarı olasılığı (reel)|

destek2  = $k \in \\!$ |

ODF2    = $(1 - p)^\,p\!$ |

CDF2    = $1-(1 - p)^\!$ |

ortalama2    = $\frac\!$ |

medyan2   =|

mod2    =0|

varyans2  = $\frac\!$ |

çarpıklık2  = $\frac{\sqrt{1-p\!$ |

basıklık2  = $6+\frac\!$ |

mf2    = $\frac\!$ |

kf2   = $\frac{1-(1-p)\,e^{it\!$ |

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ``geometrik dağılım`` şu iki şekilde ifade edilebilen aralıklı olasılık dağılımıdır:

Bütün tamsayılar setine, yani üzerine, bağlı olarak ``X`` sayıda Bernoulli denemesinde ilk başarıyı elde etmenin olasılık dağılımı; veya

Bütün tamsayılar setine, yani üzerine, bağlı olarak ilk başarıyı elde etmeden ``Y`` = ``X`` aˆ’ 1 başarısızlık sayısı olasılık dağılımı.

İstatistikçiler aynı varsayımlara bağlı olarak ``geometrik dağılım`` için iki degişik şekilde açıklama ortaya çıkartmışlardır. Bunlar mantıken eşit olmakla beraber iki açıklamanın birbiri ile mutlak karıştırılmaması gerekir. Bunlardan ikinci açıklamaya ``kaydırılmış`` geometrik dağılımı adı verilmektedir. Bunlardan hangisinin geometrik dağılım olarak kabul edilip kullanılacağı elverişlilik ve matematiksel göreneklere göre değişir.

Birinci açıklamaya göre eğer herbir deneme için başarılılık olasılığı ``p`` ise, tek bir başarı elde etmek için gereken ``k`` deneme sayısı için olasılık şöyle verilir:

\Pr(X = k) = (1 - p)^\,p\,

burada ``k`` = 1, 2, 3, ....

Eşit şekilde, ``kaydırılmış`` geometrik seri açıklamasına göre, eğer her bir deneme için başarılılık olasılığı ``p`` ise, ilk başarıyı elde etmeden ``k`` sayıda başarısızlık elde etme için olasılık şöyle verilir:

\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,

burada ``k`` = 0, 1, 2, 3, ....

Dikkat edilirse burada iki değişik açıklama için değişik rassal değişken, ``X`` ve ``Y``, kullanılmıştır. Her iki açıklamada da olasılık serileri bir geometrik seri olarak elde edilir.

Bir örnek olarak bir kusursuz zar atma deneyine bakılsın ve bir zar arka arkaya ilk defa ``6`` gelmesine kadar atılsın. İstenen bir sonucu elde etmek için gereken zar atılma sayısı için bir sonsuz sonuç seti (1, 2, 3, ... } bulununur ve her bir deneme için yani her zar atışı icin ``6`` gelmesi olasılığı ``p`` olur. Eğer ``6`` gelmeden önce atılması gereken zar sayısının olasılığı ilgi konusu ise bu birinci tip bir geometrik dağılımdır; eğer ilk ``6`` atmadan yapılan başarısız zar atması sayısı olasılığı ilgi konusu ise bu ikinci tip (kaydırılmış) geometrik dağılımdır.

Momentler ve kümülantlar

Geometrik dağılım gösteren ``X`` rassal değişkeni ``X`` için beklenen değer 1/``p`` ve varyans değeri (1 − ``p``)/``p``² :

\mathrm(X) = \frac,

\qquad\mathrm(X) = \frac

olur.

Benzer şekilde, geometrik dağılım gösteren ``Y`` rassal değişkeni için beklenen değer

(1-p)/p

ve varyans değeri ise

(1-p)/p^2

\mathrm(Y) = \frac,

\qquad\mathrm(Y) = \frac.

\mu = (1-p)/p

değerinin ``Y`` için beklenen değer olduğu kabul edilsin. O zaman ``Y`` için olasılık dağılımının kümülant değeri

\kappa_n

şu matematik yenileme ilişkisine (recursion) uyar:

\kappa_ = \mu(\mu+1) \frac.

Parametre tahminleri

Geometrik dağılımın her iki alternatif şekli için ``p`` değerinin tahmini, dağılımın beklenen değerinin örnekleme ortalamasına eşit varsayımının kabulu suretiyle yapılabilir. Bu tahmin tipi istatistik kuramında tahmin için momentler yöntemi adı ile anılır. Geometrik dağılım için ``p`` değerinin bu yönteme göre tahmin edilmesi bir maksimum olabilirlilik tahmini ortaya çıkarır.

Özellikle geometrik dağılımın birinci alternatifi için

i=1,\dots,n

için

k_i \geq 1

olduğu zaman

k_1,\dots,k_n

bir örnekleme olduğu kabul edilsin. O zaman ``p`` değerinin tahmini şöyle verilir:

\widehat = \left(\frac1n \sum_^n k_i\right)^. \!

Bayes tipi sonuç çıkartıcı istatistik kuramına göre ise ``p`` parametresi için eşlenik öncel dağılımı bir Beta dağılımı olur. Eğer herhangi bir ``p`` parametre değeri için öncel olarak :Beta(``α``, ``β``) verilmiş ise, sonrasal dağılım şöyle ifade edilir:

p \sim \mathrm\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_^n (k_i-1)\right). \!

``α`` ve ``β`` değerleri sıfıra yaklaştıkca, sonrasal ortalama olan

\mathrm [1]

maksimum olabilirlilik tahmini olan

\widehat

değerine yaklaşır.

Diğer alternatif halde,

i=1,\dots,n

için

k_i \geq 0

olduğu halde bir örneklemin ifadesi

k_1,\dots,k_n

olsun. Bu halde ``p`` şöyle tahmin edilir:

\widehat = \left(1 + \frac1n \sum_^n k_i\right)^. \!

Bir Beta(``α``, ``β``) önceli için verilmiş ``p`` için sonrasal dağılım şudur:

p \sim \mathrm\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_^n k_i\right). \!

Tekrar, sonrasal ortalama olan

\mathrm [2]

değerinin, ``α``ve ``β`` sıfır değerine yaklaştıkca, maksimum olabilirlilik tahmini

\widehat

değerine yaklaşır.

Diğer özellikler

``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri için olasılık üreten fonkisyonlar sırasıyla şöyle ifade edilir:

G_X(s) = \frac, \!

G_Y(s) = \frac, \quad |s| < (1-p)^. \!

Geometrik dağılım, sürekli olasılık dağılım analogu olan üstel dağılım gibi, beleksiz olma özelliği gösterir. Bu demektir ki eğer bir deneyi ilk başarıyı elde edinceye kadar tekrarlarsak, birinci başarı daha ortaya çıkmadığı için, daha fazla sayıda yapılması gerek deneme sayısı için koşullu olasılık dağılımı o zamana kadar gözlemi yapılmış olan başarısızlık sayısına bağlı değildir. Deneme arka arkaya atılan zar veya havaya atılan ve tutulan madeni para ile yapılmakta ise, her deneme için önceki başarısızlıklar hakkında bilgi bulmak, sonuç bulmak icin hiç yarar sağlamaz; yani deneme belleksizdir. Geometrik dağılım gerçekte tek belleksiz olan aralıklı olasılık dağılımıdır.

Bütün tamsayılar seti, yani {1, 2, 3, ...), üzerinde desteklenen ve değeri verilmiş bir Î¼ beklenen değeri bulunan, bütün aralıklı olasılık dağılımlar arasında, ``X`` rassal değişkeni için ``p`` = 1/Î¼ parametreli geometrik dağılım en büyük entropi gösterenidir.

İlk başarıdan önce başarısızlık sayısı olan ``Y`` rassal değeri için geometrik dağılım, sonsuz bölünebilirlilik özelliği gösterir. Bu demektir ki her hangi bir pozitif tamsayı olan ``n`` için, bağımsız ve birbiri ile aynı dağılım gösteren ``Y``₁, ..., ``Y``_``n`` rassal değişkenleri vardır ve bunların toplamı ``Y`` ile aynı dağılım gösterir. Yalnızca ``n``=1 hariç, bunlar geometrik dağılım göstermezler, bunların dağılımı negatif binom dağılımı ile temsil edilir.

Geometrik dağılım gösteren bir ``Y`` rassal değişkeni için olasılık ondalıklı olarak yazılınca her on üssü için teksayı seri halinde bağımsızlık|bağımsızlık] özelliği gösteren birer rassal değişken değeri olur. Örneğin, yüzlük sayı gösteren D teksayısı için bu rassal değişkenin olasılık dağılımı şöyle verilir:

\Pr(D=d) =  \over  + q^ + \cdots + q^,

burada ``q`` = 1 − ``p``. Diğer on üssü teksayıları için de benzer olasılık dağılımları ortaya çıkartılabilir.

Diğer dağılımlarla ilişkiler

``Y`` için geometrik dağılım ``r``=1 olan özel bir negatif binom dağılımıdır. Daha genel olarak eğer Y``₁,...,``Y``_``r`` rassal değişkenleri için bağımsızlık gösteren ``p`` parametreli bir sıra geometrik dağılımlar görülüyorsa

Z = \sum_^r Y_m

``r`` ve ``p`` parametreleri olan bir negatif binom dağılımı gösterir.

Eğer ``Y``₁,...,``Y``_``r`` bir sıra bağımsız (olasılıkla değişik başarı parametreleri $p^$ ) olan) geometrik dağılım gösteren değişkenlerse, bunların minimum değerlerini ifade eden

W = \min_ Y_m\,

terimi de ``p`` parametresi

1-\prod_(1-p^)

değerde olan bir geometrik dağılım gösterir.

Eğer 0 < ``r`` < 1, ise ve bir rassal değişken olan ``k`` = 1, 2, 3, ... t i ``X``_``k`` beklenen değeri ``r``^``k``/``k`` olan bir Poisson dağılımı gösteriyorsa, o zaman

\sum_^\infty k\,X_k

(0, 1, 2, ....) setinden değerler alan ve beklenen değeri ``r``/(1 − ``r``) olan bir geometrik dağılım gösterir.

Üstel dağılım geometrik dağılımın sürekli değişkenli analog benzeridir. Eğer bir üstel dağılım

gösteren rassal değişken değerleri tabandan yukarıya doğru, tavana en yakın tamsayıya yuvarlanırlarsa bu tamsayı halindeki rassal değişken de geometrik dağılım gösterir.

İçsel bağlantılar

Kupon toplayıcısının problemi

Kaynak

Kaynak wiki

|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_distribution|tarih=14 Mart 2008 |dil=İngilizce|madde=Geometric_distribution

Dışsal bağlantılar

Geometrik dağılım kaynak MathWorld.

Olasılık Dağılımları|Geometrik dağılım

Kaynaklar

Vikipedi

Geometrik Dağılım

Momentler ve kümülantlar

Parametre tahminleri

Diğer özellikler

Diğer dağılımlarla ilişkiler

İçsel bağlantılar

Kaynak

Dışsal bağlantılar

Kaynaklar

İlgili konular

Log-normal dağılım

Geometrik ortalama

Olasılık dağılımı

Üstel dağılım

Negatif binom dağılımı

Normal Dağılım

Tekdüze dağılım (ayrık)

Ayrık olasılık dağılımları

Geometrik Dağılım

Geometrik Dağılım Hakkında Detaylı Bilgi

Momentler ve kümülantlar

Parametre tahminleri

Diğer özellikler

Diğer dağılımlarla ilişkiler

İçsel bağlantılar

Kaynak

Dışsal bağlantılar

Kaynaklar

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Log-normal dağılım

Geometrik ortalama

Olasılık dağılımı

Üstel dağılım

Negatif binom dağılımı

Normal Dağılım

Tekdüze dağılım (ayrık)

Ayrık olasılık dağılımları