Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Negatif Binom Dağılımı

Kısaca: Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarinda negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir. ...devamı ☟

Negatif binom dağılımı
Negatif Binom Dağılımı

Olasılık dağılımı| 
isim    =Negatif binom|
tip    =kütle|
pdf_image =ırmızı çizgi ortalamayı gösterir ve yeşil çizgi için yaklaşık uzunluk 2σ olur.|
cdf_image =|
parametreler =r > 0\! (rerl)
0 (real)|
destek  =k \in \\!|
OYF    =\frac\,p^r\,(1-p)^k \!|
YDF    =I_p(r,k+1)\textI_p(x,y) tanzim edilmis tamam olmayan beta fonksiyonudur|
ortalama    =r\,\frac\!|
medyan  =|
mod    =\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\textr>1
0\textr\leq 1|
varyans  =r\,\frac\!|
çarpıklık  =\frac{\sqrt{r\,(1-p)\!|
basıklık  =\frac + \frac\!|
entropi  =|
mf    =\left(\frac\right)^r \!|
kf    =\left(\frac{1-(1-p) e^{i\,t\right)^r \!


Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarinda negatif binom dağılım bir aralıklı olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir.

Negatif binom dağılımın tanımlanması

Olasılık kütle fonksiyonu



Negatif binom dağılımları iki parametre ile tam olarak tanımlanan bir dağılımlar ailesidir. Bu nedenle istatistik tanıtıcı yazınlarında değişik şekilde tanımlar ortaya atılmıştır. Popüler olarak kullanılan bir tanım açıklanacaktır: Bu tanıma göre negatif binom dairesi için iki reel-degerli parametre ``p``, 0 < ``p`` < 1 ve ``r``, ``r`` > 0 olur. Matematik notasyon ile negatif binom dağılım gösteren bir rassal değişken ``X`` şöyle gösterilir:
``X`` ~ NegBin(``r``, ``p``).
Bu halde olasılık kütle fonksiyonu şöyle verilir:


f(k;r,p) = \cdot p^r \cdot (1-p)^k \!
burada ``k`` = 0,1,2,... ve
= \frac = (-1)^k\cdot\! ve Γ = (``r`` − 1)! .


Sınırsal hal



Alternatif ikinci bir tanımda ise λ ve ``p`` parametreleri şöyle tanımlanır:

\lambda = r\cdot(p^-1) \!
p = \frac \!


ve ``olasılık kütle fonksiyonu`` şöyle verilir:

g(k) = \frac \cdot \frac \cdot \frac\right)^{r \!


Burada ``λ`` ve ``r`` negatif olmayan reel parametrelerdir.

Bu tanıma göre şu eşitlik ifadesi ortaya çıkar:

\lim_ g(k) = \frac \cdot 1 \cdot \frac \!


Bu ifade ise bir Poisson dağılımı gösteren ve Poisson oranı ``λ`` olan bir Poisson dağılım için olasılık kütle fonksiyonudur. Böylece bu ikinci tanımla negatif binom dağılımının limitte Poisson dağılımına yaklaşan bir dağılım olduğu ve ``r`` parametresinin da bu yaklaşımı kontrol parametresi olduğu açıklaşır; ``r`` değeri büyüdükçe negatif binom Poissona daha çok yaklaşacaktır. Böylece negatif binom dağılımı Poisson dağılım yerine kullanılan daha sağlam bir dağılım olmaktadır. Büyük ``r`` değeri için Poisson`a yaklaşılır ve uygun değerler daha kolayca bulunur; ama büyük ``r`` değerlerinde varyanslar küçük ``r`` değerlerinden daha büyük olur.

Gamma-Poisson bileşiği



Üçüncü değişik bir tanım ise, nagatif binom dağılımının Poisson dağılımlarının sürekli bir bileşiğinden ortaya çıktığı ve bu bileşiği temin eden Poisson oranlı dağılımın bir gamma dağılımı olması gerçeğine dayanır. O zaman formel notasyon ile negatif binom için olasılık kütle fonksiyonu şöyle olur: 

|f(k)\!\!\!\!
|= \int_0^ \mathrm(k \,|\, \lambda) \cdot \mathrm(\lambda \,|\, r, (1-p)/p) \; \mathrm\lambda \!
|-
|
|= \int_0^ \frac \exp(-\lambda) \cdot \frac \exp(-\lambda p/(1-p))} \; \mathrm\lambda \!
|-
|
|= \frac \; p^r \; \frac \;
\int_0^ \lambda^ \, \exp(-\lambda/(1-p)) \;\mathrm\lambda \!
|-
|
|= \frac \; p^r \; \frac \; (1-p)^ \; \Gamma(r+k) \!
|-
|
|= \frac \; p^r \, (1-p)^k. \!
|}


Bu nedenle negatif binom fonksiyonu ayni zamanda gamma-Poisson bileşiği dağılım olarak da bilinmektedir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu



Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmis beta fonksiyonu terimleri ile şöyle verilir:

F(k) = I_(r, k+1). \!


Ortaya çıkma

Bir Bernoulli tipi süreçde bekleme zamanı



``r`` değerinin bir tamsayı olduğu özel hal için negatif binom dağılımı Pascal dağılımı olarak bilinir. Paskal dağılımı bağımsız ve aynı şekilde dağılmış bir seri Bernoulli deneyi sonucunda ``başarı`` ve belli sayıda ``başarısızlık`` sonucu doğmasi icin gerekli olasılık dağılımıdır. ``k``+``r`` sayida ``p`` başarı olasılıklı Bernoulli deneyi ``k`` sayıda başarısızlık ve ``r`` sayıda başarı için, en son deney sonucu başarı ise, bir negatif binom dağılımi kullanmak uygun ve yeterlidir. Diğer bir ifade ile, nagatif binom dağılımı bir Bernoulli süreci için her denemede başarı olasılığı ``p`` olan ve ``r`` tane başarı elde etmek için gerekli başarısızlık sayısının olasığını açıklayan bir dağılımdır.

Örneğin olarak bir tekrar tekrar zar atıp en son olarak 3 defa ``6`` gelme denemesine bakılsın. Burada her bir zar atışı için `başarı` (``6`` gelmesi) 1/6dir. ``3`` defa bu başarı elde edilmesi icin deneme sayısı (2,3,4,5,6,...) değerde bir sonsuz seridir. Bu sayıda deneme yapma olasığı bir (kaydırılmış) negatif-binom dağılımı gösteren rassal değişkendir. 3 tane başarı (6) gelmeden önce gereken başarısızlık sayısi ise (0, 1, 2, 3, ...) yine bir sonsuz seridir. Böylece başarısızlık sayısı da bir negatif binom dağılım gösteren bir diğer rassal değişkendir.

Eğer ``r``=1 ise ilk başarıyı elde etmeden başarısızlıklar sayısının (yani (``k``+1)inci denemede başarının} olasılık dağılımı elde edilir ve bu şu geometrik dağılımdır:

f(k) = p \cdot (1-p)^k \!


Fazla sapmalı bir Poisson



Yukarıda açıklanan bir tanıma göre negatif binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşık olduğu zamanlar Poisson dağılımı yerine kullanılabilir. Eğer veriler aralıklı, bir yukarı limit olmadan pozitif iseler ve örnek varyansı örnek ortalama değerinden büyük ise özellikle bu yaklaşım kullanışlı olmaya başlar. Bu tip verilerde eğer ornek ortalaması ve varyansı birbirine eşitse, Poisson dağılımı kullanılması uygundur. Fakat varyans değeri artıp ortalama değerini geçince, yani fazla sapma olan bir Poisson süreç ortaya çıkarsa, negatif binom yaklaşımı kullanma uygunluğu daha da önem kazanır.

Diğer dağılımlara bağlantılar

  • Geometrik dağılım negatif binom dağılımının özel bir halidir; yani


\mathrm(p) = \mathrm(1, p).\,


  • Şu anlamda negatif binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır:


\mathrm(\lambda) = \lim_ \mathrm(r, r/(\lambda+r)).\,


  • Negatif binom dağılımı aralıklı faz tipli dağılımın bir özel halidir.


Özellikler

p parametresi için örnekleme ve nokta tahmini



``p`` parametresi bilinmediği farzedilsin ve bir deneme yapıp bu denemayi uygulamaya başlamadan örnek almanın ta ``r`` sayıda başarı elde edilmesine kadar devam edileceğine karar verilmiş olsun. Bu deney için yeterli istatistik ``k`` başarısızlık sayısı olur. Bu deneyle ``p`` tahmin yapmak için en küçük varyans ortaya çıkaracak yansız nokta kestirim
\hat=\frac
olur. Bazı kişiler sağduyu ile
\tilde=\frac
ifadesini uygun bir kestirim olarak ortaya atmışlardır; ancak bunu yanlı bir kestirim olduğu isbat edilmiştir. Haldane Article

Örnekler

``(Bu problem Dr. Diane Evans`in verdiği bir örnekten Türkiye gerçeklerine göre değiştirilerek hazırlanmıştır.)``

Bir sokak satıcısı 30 tane daire bulunan bir küçük sokağa gelmiştir. Bu sokakta 5 tane kavun satıncaya kadar sırayla herbir dairenin kapısını çalmaya karar vermistir. Her bir dairede tek bir kavun satışı için olasılığın %40 olduğunu ve tek kavun için satış yapmama olasığının %60 olduğunu hayat deneyiminden bilmektedir.

Çok iyi duşünür ama pek iş bulamamış bir universite matematik mezunu kavun satıcısının şu soru aklını çeler:

"Son beşinci kavunu ``n``inci daireye satmak için `olasılık kütle fonksiyonu` ne olmalıdır?"

İleri istatistik bilgisine göre ``k`` + ``r`` sayıda Bernoulli denemesinde son denemede başarı kazanması için ``k`` sayıda başarısızlık ve ``r`` sayıda başarı kazanmanın olasığı bir negatif binom dağılımı olan NegBin(``r``, ``p``) ile bulunur. 5 tane kavun satma 5 tane başarı kazanma olmakta ve bunu başarmak için kapısını çalmasi gereken daire sayısı ``k``+5=``n`` olmalıdır. İlgilendiği rassal değişken daire sayısıdır; bu nedenle ``k``=``n`` &minus 5 değerini bir NegBin(5,0.40) kütle fonksiyonuna koyması gerekir. Dairelerin dağılımı için, yani (``n`` &ge 5) için, şu kütle fonksiyonu elde edilir:

f(n) = \; 0.4^5 \; 0.6^ = \; 2^5 \; \frac


Şimdi iyi matematik bilen kavuncu olasılık sorularını cevap verecek hale gelmiştir ve birkaç soruya kafasını yorar:

1. 10uncu dairenin kapısını çaldiktan sonra 5 kavun satma hedefine erişme olasığı nedir?

f(10) = 0.1003290624 \,


2. 8inci dairenin kapısını çalmadan veya kapısını çaldıktan hemen sonra hedefine erişme olasılığı ne olur?

8inci dairede ve daha önce hedefine varmayı bulmak için, 5inci, 6inci, 7inci veya 8inci dairede hedefe varma olasılıkların bulunması ve birbirine toplanması gerekir:
f(5) = 0.01024 \,
f(6) = 0.03072 \,
f(7) = 0.055296 \,
f(8) = 0.0774144 \,
\sum_^8 f(j) = 0.17367


3. Matematik mezunu kavuncunun 30 daire kapısını çalıp da hedefine varamaması olasılığı nedir?

1-\sum_^ f(j) = 1 - I_(5, 30-5+1) \approx 1 - 0.99849 = 0.00151


Kavunmu yiyenlere afiyet olsun diye düşünür matematikçi kavuncu!!

İçsel bağlantılar



Kaynak

  • Kaynak wiki
|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Negative_binomial_distribution|tarih=25 Mart 2008

Olasılık Dağılımları

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

olasılık dağılımları basıklık beklenen değer benford`un savı bernoulli dağılımı beta dağılımı binom dağılımı bozulmuş dağılım dirac delta fonksiyonu f-dağılımı

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Binom dağılımı
3 yıl önce

da anılır. Eğer n=1 olursa, bu binom dağılım, yani B(1, p), gerçekte bir Bernoulli dağılımı ile aynıdır. Binom dağılımı çıkarımsal istatistik analiz ve...

Binom dağılımı, Olasılık Dağılımları, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılım, Bozulmuş dağılım, Digital object identifier
Multinom dağılımı
3 yıl önce

kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir. Binom dağılım n sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız...
Olasılık dağılımı
3 yıl önce

dağılım Negatif binom dağılımı: Geometrik dağılımının genelleştirilmesi olup ninci başarıyı elde etmenin açıklamasıdır. Parabolik fraktal dağılımı Poisson...
Geometrik dağılım
3 yıl önce

geometrik dağılım göstermezler, bunların dağılımı negatif binom dağılımı ile temsil edilir. Geometrik dağılım gösteren bir Y rassal değişkeni için olasılık...

Geometrik dağılım, Olasılık Dağılımları, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Beta dağılımı, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım, Dirac delta fonksiyonu
Poisson dağılımı
3 yıl önce

ve bu nedenle Poisson dağılımı yaklaşık olarak binom dağılım yerine kullanılmaktadır. Binom dağılımından limitte Poisson dağılım olasılık kütle fonksiyonunun...

Poisson dağılımı, Olasılık Dağılımları, İstatistik, Planetmath reference, 1781, 1840, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı
Bernoulli dağılımı
3 yıl önce

ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim adamı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir. Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir...

Bernoulli dağılımı, Olasılık Dağılımları, İstatistik, Aralıklı olasılık dağılımı, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Beta dağılımı, Binom dağılım, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım
Matematiksel istatistik
3 yıl önce

oluşum" sayısı (örneğin başarılar, evet oyları, vb.) için kullanılır. Negatif binom dağılımı, ikili gözlemlerde, ilgilenilen değerin belirli sayıda başarı gerçekleşmeden...
Beta dağılımı
3 yıl önce

(kırmızı ve mor çizgiler). Binom dağılımı ile ilişki aşağıda belirtilmiştir. Beta(1,1) standard bir sürekli tekdüze dağılım ile aynıdır. Eğer X ve Y rassal...

Beta dağılımı, Olasılık Dağılımları, Basıklık, Beklenen değer, Benford`un savı, Bernoulli dağılımı, Binom dağılımı, Bozulmuş dağılım, Dirac delta fonksiyonu, F-dağılımı, Gamma dağılımı
madde=Negative_binomial_distribution