Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Karakteristik Fonksiyon

Kısaca: Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karekteristik fonksiyon bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. ...devamı ☟

} Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karekteristik fonksiyon bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. Herhangi bir rassal değişken X için, reel doğru üzerinde, bu fonksiyonu tanımlayan formül şöyle yazılır: :\varphi_X(t) = \operatorname\left(e^\right)\, Burada t bir reel sayı, i sanal birim değer ve E beklenen değer olurlar. Eğer FX yığmalı dağılım fonksiyonu ise, kareteristik fonksiyon Riemann-Stieltjes integrali kullanılarak şöyle ifade edilebilir: :\operatorname\left(e^\right) = \int_^ e^\,dF_X(x).\, Rassal değişken için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani fX, var ise karekteristik fonksiyonu şöyle ifade edilir: :\operatorname\left(e^\right) = \int_^ e^ f_X(x)\,dx. Eğer X bir vektör-değerli rassal değişken ise, t değeri bir vektör olarak ve tX bir nokta çarpan olarak kabul edilip tanım değiştirilmez. R üzerinde veya Rn üzerindeki her olasılık dağılımının bir karekteristik fonksiyonu bulunur, çünkü sınırlı bir fonksiyonunun ölçümü sonsuz olan bir uzayda integrali alınmaktadır. Her bir karekteristik fonksiyonu için tek bir olasılık dağılımı vardır. (İçinde p(x)=p(-x) olan) bir simetrik olasılık yoğunluk fonksiyonu için karekteristik fonksiyon reeldir; çünkü x>0 ifadesinden elde edilen ile x<0 ifadesinden elde edilen sanal parçalar birbirini elimine etmektedir. Líévy süreklilik teoremi } Ters alma teoremi Bu ozellikten daha lapsamli bir ozellik daha vardir. Iki gayet iyi belirlanmis yigmali olasilik dagilimi hic bir karekteristik fonksiyonuna ortak sahip degildirler. Bir karekteristik fonksiyon, &phi; φ, verilmis ise, karsitli bagli olup cikartildigi yigmali dagilim fonksiyonu F yeniden soyle meydana getirilir: :F_X(y) - F_X(x) = \lim_ \frac \int_^ \frac - e^} \, \varphi_X(t)\, dt. Genel olarak bu bir uygunsuz entegraldir; cunku Lebesgue entegrali olacagina kosullu olarak entegrali cikartilmis olan bir fonksiyonu olabilir. Yani mutlak degerinin entegrali sonsuz olabilir. Bochner-Khinchin teoremi } Herhangi bir fonksiyon \scriptstyle \varphi belli bir olasilik yasasi olan \scriptstyle \mu karsiligi olan bir karekteristik fonksiyon olmasi icin yalnizca ve yalnizca su uc kosulun saglanmasi gerekir: #\scriptstyle \varphi \, surekli olmalidir. #\scriptstyle \varphi(0) = 1 \, olmalidir. # \scriptstyle \varphi \, bir kesin pozitif fonksiyon olmalidir. (Dikkat edilirse bu kosul biraz karmasik olup \scriptstyle \varphi >0 ile es anlamda degildir.) Karekteristik fonksiyonlarin yararları Levy'nin sureklilik teoremi dolayisiyla karakteristik fonksiyonlar merkezsel limit teoremini isbat etmek icin cok defa kullanilmaktadir. Bir karekteristik fonksiyonunun kullanilmasiyla yapilan hesaplarda atilacak en becerikli adim eldeki fonkisiyonun belli bir dagilimin karekteristik fonksiyonu oldugunun farkina varmak suretiyle ortaya cikar.

Temel özellikler

Bagimsiz olan rassal degiskenlerin fonksiyonlari ile ugrasmak icin ozellikle karekteristik fonksiyonlar kullanilir. Ornegin, X1, X2, ..., Xn bir seri bagimsiz (ama mutlaka ayni sekilde dagilim gostermeyen) rassal degisken iseler ve ailer sabit olup :S_n = \sum_^n a_i X_i,\,\! ise Sn icin karakteristik fonksiyon soyle verilir: : \varphi_(t)=\varphi_(a_1t)\varphi_(a_2t)\cdots \varphi_(a_nt). \,\! Ozellikle :\varphi_(t) = \varphi_X(t)\varphi_Y(t) olur. Bunu gormek icin bir karekteristik fonksiyonun tanimi yazilisin: :\varphi_(t)=E\left(e^\right)=E\left(e^e^\right)=E\left(e^\right)E\left(e^\right)=\varphi_X(t) \varphi_Y(t). Burada gozlenebilir ki ucuncu ve dorduncu ifadelerin esitligini saglamak icin gereken kosul X ve Y nin bibirinden bagimsiz olmasidir. Ilgi cekebilen bir diger hal de, a_i=1/n oldiugu halde S_nnin orneklem ortalamasi olmasidir.Bu halde ortalama yerine \overline konulursa :\varphi_}(t)=\left(\varphi_X(t/n)\right)^n. olur

Momentler

Karekteristik fonksiyonlar bir rassal degiskenin momentlerini bulmak icin de kullanilabilir. Eger ninci moment mevcut ise, karekteristik fonksiyonun n dereceye kadar arka arkaya turevi alinabilir ve :\operatorname\left(X^n\right) = i^\, \varphi_X^(0) = i^\, \left \varphi_X(t)\right_. \,\! olur. Ornegin, X bir standart Cauchy dağılımı gostersin. O halde bunun t=0 noktasinda turevinin bulunmadigini gostermek Cauchy dagilimi icin hicbir beklenen değer olmadigini gosterir. Ayni orneginde n tane bağımsız gozlem icin orneklem ortalamasi olan \overlinein karakteristik fonksiyonu :\varphi_}(t)=(e^)^n=e^ olur ve bunu standart bir Cauchy dagilimi icin karakteristik fonksiyon oldugu gozumlenebilir. Boylece Cauchy dagilimi icin orneklem ortalamasi icin dagilim anakultle dagilimi ile ayni dagilim oldugu anlasilmaktadir. Bir karakteristik fonksiyonun logaritması bir kümülant üreten fonksiyon olur ve bu fonksiyon kümülantları bulmak için yararlıdır.

Bir örneğin

Çoklu-değişirli karekteristik fonksiyonlar

Örneğin

Matris değerli rassal değişkenler İlişkili kavramlar

Bibliyografya

*Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350 *Bisgaard, T. M., Sasví¡ri, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science }

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Karakteristik fonksiyon
3 yıl önce

dağılım olduğu anlaşılmaktadır. Bir karakteristik fonksiyonun logaritması bir kumulant üreten fonksiyon olur ve bu fonksiyon kumulantları bulmak için yararlıdır...
Moment üreten fonksiyon
3 yıl önce

üreten fonksiyonlara benzer olarak daha birkaç tane donüşüm bulunmaktadır: Bunlar arasında karakteristik fonksiyon ve olasılık üreten fonksiyon en önemlileridir...
Birikimli dağılım fonksiyonu
3 yıl önce

fonksiyon bir birikimli dağılım fonksiyonudur. Bu dört fonksiyon özelliği gösteren bütün birikimli dağılım fonksiyonları cadlag tipi fonksiyonlardır....
Oyun Teorisi
3 yıl önce

bedeli karakteristiktir. Normal biçim oyunlarından birleşim değerlerini türetmek için şimdi farklı modeller vardır. Fakat karakteristik fonksiyon biçimindeki...

Oyun Kuramı, Ekonomi, Finans, John Nash, John von Neumann, Oligopol Piyasaları, Taslak, İngilizce, Nash çözümü, Baskın strateji, R. C. Lewontin
Cauchy dağılımı
3 yıl önce

dağılım gösteren bir rassal değişken olsun. Cauchy dağılımı için karakteristik fonksiyon şöyle verilir: ϕ x ( t ; x 0 , γ ) = E ( e i X t ) = exp ⁡ ( i...
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
3 yıl önce

Kantor dağılımı için de yoğunluk fonksiyonu bulunmaz. Bir yığmalı dağılım fonksiyonunun türevi ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki ilişkinin karmaşık...
Dirac delta fonksiyonu
3 yıl önce

uyacak bütün matematik temsillerine delta fonksiyonu veya delta fonksiyonunun temsili denir. Delta fonksiyonu n boyuta genellenebilir. Gösterimi ise δ...

Dirac delta fonksiyonu, Basamak Fonksiyonu, Paul Dirac, Vektör
Normal Dağılım
3 yıl önce

beklenen değersi olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon içindeki t {\displaystyle t} teriminin i t {\displaystyle...

Normal Dağılım, Karl Friedrich Gauss, Rassal değişken, Yoğunluk fonksiyonu, Hipergeometrik dağılım, Pierre Simon Laplace, Abraham de Moivre