Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Digama Fonksiyonu

Kısaca: digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır: ...devamı ☟

digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır: :\psi(x) =\frac \ln= \frac. Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir. Harmonik sayılar ile ilişkisi Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya \digamma (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi :\psi(n) = H_-\gamma\! Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım :\psi\left(n+}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_^n \frac Integral Gösterimleri integral gösterimi :\psi(x) = \int_0^\left(\frac} - \frac}}\right)\,dt şeklindedir. :x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz :\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac dx harmonik sayılar için Euler integrali'dir . Seri formülü Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla :\psi(z+1)= -\gamma +\sum_^\infty \left( \frac \right), z \neq -1, -2, -3, ... Taylor serisi Digama

Taylor serisi

'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada :\psi(z+1)= -\gamma -\sum_^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k, yakınsaklık için |z|<1. Burada, \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir. Newton serisi Digama için

Newton serisi

 Euler integral formulü ile : :\psi(s+1)=-\gamma-\sum_^\infty \frac Burada \textstyle binom katsayısı'dır. Refleksiyon formülü Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar :\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot Özyineleme formülü tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu :\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle :\Delta [1] (x) = \frac Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir , : \psi(n)\ =\ H_ - \gamma burada \gamma\, Euler-Mascheroni sabiti'dir. Daha genel bir ifade, :\psi(x+1) = -\gamma + \sum_^\infty \left( \frac-\frac \right) Gauss toplamı Digama'nın Gaussian toplam formu :\frac \sum_^k \sin \left( \frac\right) \psi \left(\frac\right) = \zeta\left(0,\frac\right) = -B_1 \left(\frac\right) = \frac - \frac şeklindedir. Tamsayılar için 0. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve B_n(x) 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ; :\sum_^k \psi \left(\frac\right) =-k(\gamma+\log k), ve genelleştirilmiş şekli :\sum_^\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln(q)), Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. . Gauss'un digama teoremi Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi :\psi\left(\frac\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac\cot\left(\frac\right) +2\sum_^ \cos\left(\frac \right) \ln\left(\sin\left(\frac\right)\right) Hesaplama & yaklaşıklık J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir, : \psi(x) = ln(x) -\frac - \frac + \frac - \frac + O\left(\frac\right) veya : \psi(x) = ln(x) - \frac + \sum_^\infty \frac} : \psi(x) = ln(x) - \frac - \sum_^\infty \frac)} n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur. Özel değerler Digama fonksiyonu için bazı özel değerler: : \psi(1) = -\gamma\,\! : \psi\left(\frac\right) = -2\ln - \gamma : \psi\left(\frac\right) = -\frac} -\frac\ln - \gamma : \psi\left(\frac\right) = -\frac - 3\ln - \gamma : \psi\left(\frac\right) = -\frac\sqrt -2\ln -\frac\ln(3) - \gamma : \psi\left(\frac\right) = -\frac - 4\ln - \frac} \left\) - \ln(2 - \sqrt)\right\} - \gamma Bakınız * Trigama fonksiyonu * Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4 * Dış bağlantılar * Cephes - C and C++ language special functions math library * [2] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1 អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.