Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Poligama Fonksiyonu

Kısaca: poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine ''m'' konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının ...devamı ☟

Poligama fonksiyonu
Poligama Fonksiyonu

poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m+1)'inci türevi olarak tanımlanır. :\psi^(z) = \left(\frac\right)^m \psi(z) = \left(\frac\right)^ \ln\Gamma(z). Burada :\psi(z) = \psi^(z) = \frac digama fonksiyonu'dur ve \Gamma(z) gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani \psi^(z) bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir. (z) | \psi^(z) | \psi^(z) | \psi^(z) | \psi^(z) |} Integral gösterimleri Poligama fonksiyonunun integral gösterimi :\psi^(z)= (-1)^\int_0^\infty \frac} } dt Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır. Tekrarlayan ilişki tekrarlayan ilişki :\psi^(z+1)= \psi^(z) + (-1)^m\; m!\; z^. şeklindedir. Çarpım teoremi çarpım teoremi m>1 için :k^ \psi^(kz) = \sum_^ \psi^\left(z+\frac\right) olarak verilir. ve m=0,için digama fonksiyonu adı verilir; :k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_^ \psi\left(z+\frac\right). Seri gösterimi Poligama fonksiyonu seri gösterimi :\psi^(z) = (-1)^\; m!\; \sum_^\infty \frac} m > 0 ve z herhangi bir negatif tamsayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı :\psi^(z) = (-1)^\; m!\; \zeta (m+1,z). Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tamsayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen, 1 / \Gamma(z) = z \; \mbox^ \; \prod_^ \left(1 + \frac\right) \; \mbox^. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir. Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz: \Gamma(z) = \frac^} \; \prod_^ \left(1 + \frac\right)^ \; \mbox^ Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi: \ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_^ \left( \frac - \ln(1 + \frac) \right) Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak \psi^(z) = \frac}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_ \; - \; \frac} \; + \; \sum_^ \frac \delta_ \; - \; \frac} şeklinde verilebilir. Burada \delta_ Kronecker delta'sıdır. Taylor serisi Burada

Taylor serisi

 z = 1 değeri için :\psi^(z+1)= \sum_^\infty (-1)^ (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac , ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen

Taylor serisi

kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir. * Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . See section §6.4

Kaynaklar

Vikipedi